繊維体積分率 0.483、繊維の弾性率 282 GPa、マトリックスの弾性率 2.7 GPa の複合材積層板について、逆混合則を用いて横方向剛性 E22 を求めよ。答えはギガパスカル単位で小数第 1 位まで示せ。

Step-by-step solution

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   横方向では別の公式を使う理由を押さえる。 繊維方向に荷重をかけると繊維とマトリックスは同じひずみを受け、剛性が並列に加算される。繊維を横切る向きでは同じ応力を受けてひずみが足し合わされるので、加算されるのはコンプライアンスであり、直列の配置になる。

   $\frac{1}{E_{22}}=\frac{V_f}{E_f}+\frac{V_m}{E_m}.$

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   マトリックスの体積分率を求める。 2 つの相が体積を埋め尽くすので

   $V_m=1-V_f=1-0.483=0.517.$

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   各コンプライアンス項を計算する。

   $\frac{V_f}{E_f}=\frac{0.483}{282}=0.00171277\ \text{GPa}^{-1},\qquad \frac{V_m}{E_m}=\frac{0.517}{2.7}=0.19148148\ \text{GPa}^{-1}.$

   両者の偏りに注目したい。マトリックス側の項が 100 倍以上大きい。直列配置では柔らかい相が全体を支配するからである。

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   足して逆数をとる。

   $\frac{1}{E_{22}}=0.00171277+0.19148148=0.19319425\ \text{GPa}^{-1},$
   $E_{22}=\frac{1}{0.19319425}=5.1761\ \text{GPa}.$

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   小数第 1 位に丸める。

   $E_{22}\approx 5.2\ \text{GPa}.$

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   大きさの妥当性を確かめる。 答えは 2 つの構成材料の弾性率の間に、しかも小さい方にずっと近くなければならない——鎖の強さは最も弱い環で決まるのと同じである。$282$ に近い値が出たら並列（繊維方向）の公式を誤って使ったことになる。ここでは $5.2$ は $E_m=2.7$ のおよそ 2 倍にすぎず、マトリックスがほぼ半分を占める直列モデルの予想どおりである。