一方向炭素繊維エポキシ積層板の繊維体積分率が0.66、母材体積分率が0.34で、繊維の弾性率340 GPa、母材の弾性率3.05 GPa、繊維の強度3648 MPa、母材の強度60 MPa である。複合則を使って、繊維に平行な方向に荷重をかけたときの剛性と引張強度を求めよ。

Step-by-step solution

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   ここで単純な加重平均が使える理由を理解する。 繊維に平行に荷重をかけると、繊維と母材は同じひずみを受ける（等ひずみ、いわゆるフォークトの仮定）。すると各相は、自身の剛性と断面に占める割合に比例して力を分担する。複合則はまさにそれを式にしたものである：

   $E_{11}=V_fE_f+V_mE_m$

   積層板を横方向に荷重するとこの式は成り立たなくなり、逆複合則が必要になる。

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   体積分率の和が1になることを確認する。 $V_f+V_m=0.66+0.34=1.00$ である。もしそうでなければ、先に進む前にどちらかを重量分率と密度から計算し直す必要がある。

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   長手方向の剛性を計算する。

   $E_{11}=(0.66)(340)+(0.34)(3.05)=224.4+1.037=225.437\ \text{GPa}$

   小数第1位まで丸めると $E_{11}=225.4\ \text{GPa}$ である。樹脂の寄与は $225$ のうち約 $1$ GPa、$0.5\%$ にも満たないことに注意したい。繊維が支配する方向では、母材は実質的にただの接着剤である。

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   長手方向の強度も同じように計算する。 同じ等ひずみの考え方から

   $\sigma_{11}=V_f\sigma_f+V_m\sigma_m=(0.66)(3648)+(0.34)(60)=2407.68+20.4=2428.08\ \text{MPa}$

   となるので、$\sigma_{11}=2428.1\ \text{MPa}$ である。

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   大きさと単位を確かめる。 どちらの答えも母材の値と繊維の値の間になければならず、実際そうなっている（$3.05<225.4<340$ GPa、$60<2428.1<3648$ MPa）。$V_f$ が高いので繊維側に寄っている。GPa は GPa と、MPa は MPa とそろえること。$1000$ 倍の食い違いで両者を混ぜてしまうのが、この計算での典型的な誤りである。