次元解析を使って、時速45マイルを毎秒何メートルかに換算せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何が約分されるべきかを決める。 出発する量は分子がマイル、分母が時間である。目標は分子がメートル、分母が秒。したがってマイルを分母に置く係数が1つと、時間を分子に置く係数が1つ必要になる。数字がそれらしく見えるかではなく、どの単位が消えるかで係数を選ぶ。これが次元解析の考え方そのものである。

2. 2

   正確な換算係数を書く。 定義により

   $1\ \text{mi}=1609.344\ \text{m},\qquad 1\ \text{hr}=3600\ \text{s}$

   どちらも厳密値なので精度は失われない。（$1609.344$ が厳密なのは、国際ヤードが厳密に $0.9144$ m と定義されているからである。$1609.34$ はそれを丸めた値にすぎない。）

3. 3

   単位が約分されるように係数をつなぐ。

   $45\ \frac{\cancel{\text{mi}}}{\cancel{\text{hr}}}\times\frac{1609.344\ \text{m}}{1\ \cancel{\text{mi}}}\times\frac{1\ \cancel{\text{hr}}}{3600\ \text{s}}$

   マイルどうし、時間どうしが約分され、メートル毎秒だけが残る。計算に入る前に、単位そのものが式の組み立ての正しさを保証してくれる。

4. 4

   計算する。

   $45\times\frac{1609.344}{3600}=45\times 0.44704=20.1168$

   よって

   $45\ \text{mi/hr}=20.1168\ \text{m/s}\approx 20.12\ \text{m/s}$

   まとめた定数 $0.44704$ は覚えておく価値がある。どんな mi/hr の値も1回の掛け算で m/s に直せる。

5. 5

   大きさを見積もり、同じ方法を再利用する。 1マイルはおよそ $1.6$ km、1時間は $3600$ s なので、mi/hr は $1609/3600\approx 0.45$ 倍くらいに縮むはずである。実際 $45\times 0.45\approx 20$ となり一致する。同じつなぎ方は逆向きにも使える：$75\ \text{m/s}\times\frac{1\ \text{km}}{1000\ \text{m}}\times\frac{3600\ \text{s}}{1\ \text{hr}}=75\times 3.6=270\ \text{km/hr}$。