車が直線の道の前半を一定の速さ 50 km/h で、後半を一定の速さ 60 km/h で走る。全体の平均の速さを求めよ。

Step-by-step solution

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   直感ではなく定義から出発する。 平均の速さはつねに

   $v_{\text{avg}}=\frac{\text{全体の距離}}{\text{全体の時間}}$

   である。2つの速さの平均ではない。$50$ と $60$ を平均して $55$ とするのは、それぞれの速さで同じ時間だけ走ったと暗に仮定していることになる。しかしここで等しいのは距離であり、遅い方の半分に長い時間をかけるぶん、平均は下に引っ張られる。

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   約分できるように距離に文字を置く。 半分ずつの距離を $d$ とすると、全体の距離は $2d$ である。それぞれの半分にかかる時間は距離を速さで割って：

   $t_1=\frac{d}{50},\qquad t_2=\frac{d}{60}$

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   通分して時間を足す。

   $t_1+t_2=\frac{d}{50}+\frac{d}{60}=d\left(\frac{6}{300}+\frac{5}{300}\right)=\frac{11d}{300}$

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   全体の距離を全体の時間で割る。

   $v_{\text{avg}}=\frac{2d}{\dfrac{11d}{300}}=2d\cdot\frac{300}{11d}=\frac{600}{11}\approx54.5\ \text{km/h}$

   未知数 $d$ が約分で消えるので、答えは道の長さによらない。

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   一般の公式として見る。 同じ計算を文字でやり直すと、2つの速さの調和平均が出てくる：

   $v_{\text{avg}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}=\frac{2(50)(60)}{50+60}=\frac{6000}{110}=54.\overline{54}\ \text{km/h}$

   調和平均は、2つの速さが等しい場合を除けばつねに相加平均より小さい。だから $55$ を少し下回る値になること自体が検算になる。

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   具体的な数値で確かめる。 半分ずつの距離を $300\ \text{km}$ とすると、前半は $6$ 時間、後半は $5$ 時間かかるので、$11$ 時間で $600\ \text{km}$ 進むことになり、$600/11\approx54.5\ \text{km/h}$ と公式の答えにぴたりと一致する。