t = (1/3.6) × (0 から 7.07 までの (1.1 × 9.13) / (10.752 − 9.13 × 9.8 × 0.01 − (0.04985 × 0.2032 × v²)/21.15) dv の積分) を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   微積分に入る前にすべての定数をまとめる。 被積分関数が手ごわく見えるのは、定数が掛け合わされていないからにすぎない。分子は

   $1.1\times 9.13=10.043$

   分母の定数部分は

   $10.752-9.13\times 9.8\times 0.01=10.752-0.89474=9.85726$

   $v^{2}$ の係数は

   $\frac{0.04985\times 0.2032}{21.15}=\frac{0.01012952}{21.15}=4.78937\times 10^{-4}$

   である。

2. 2

   見慣れた標準形に書き直す。

   $t=\frac{10.043}{3.6}\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{9.85726-4.78937\times 10^{-4}v^{2}}$

   $v^{2}$ の係数を分母からくくり出すと、平方の差の形が現れる。

   $=\frac{10.043}{3.6\left(4.78937\times 10^{-4}\right)}\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{a^{2}-v^{2}},\qquad a=\sqrt{\frac{9.85726}{4.78937\times 10^{-4}}}=143.463$

3. 3

   対数の原始関数を使う。 部分分数分解により

   $\int\frac{dv}{a^{2}-v^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+v}{a-v}\right|+C$

   が得られる（同じことだが $\tfrac1a\operatorname{artanh}\tfrac va$ とも書ける）。上端の $7.07$ は $a=143.463$ よりはるかに小さいので、区間全体で $a^{2}-v^{2}>0$ であり、被積分関数が発散することはない。

4. 4

   定積分を計算する。

   $\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{a^{2}-v^{2}}=\frac{1}{2(143.463)}\ln\frac{143.463+7.07}{143.463-7.07}=\frac{\ln(1.10367)}{286.926}=3.4379\times 10^{-4}$

5. 5

   前に付いている定数を掛ける。

   $\frac{10.043}{4.78937\times 10^{-4}}\times 3.4379\times 10^{-4}=20969\times 3.4379\times 10^{-4}=7.2091$

   したがって積分そのものは $7.2091$ であり

   $t=\frac{7.2091}{3.6}=2.0025$

   $\boxed{t\approx 2.00\ \text{s}}$

   となる。

6. 6

   被積分関数を定数とみなす見積もりで検算する。 $v$ は最大でも $7.07$ にしか達しないのに $a=143.5$ なので、$v^{2}$ の項が分母を動かす量はたかだか $4.79\times 10^{-4}(7.07)^{2}=0.0239$、$9.857$ に対しておよそ $0.24\%$ にすぎない。被積分関数を定数 $\tfrac{10.043}{9.85726}=1.01885$ とみなすと $t\approx\tfrac{1.01885\times 7.07}{3.6}=2.0009$ s となり、厳密な $2.0025$ s との差は $0.1\%$ 以内である ✓。