底面の半径が 2.2 メートルで、軸断面の頂角が 60 度である円錐の体積を求めよ。

Step-by-step solution

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   頂角から何が得られるかを見る。 体積の公式 $V = \tfrac13\pi r^2 h$ には高さが必要だが、それは与えられていない。軸断面は頂角 $60^{\circ}$ の二等辺三角形であり、軸がそれを 2 つの直角三角形に分けるので、半頂角は

   $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$

   である。

2. 2

   その直角三角形で半径と高さを結びつける。 半頂角は頂点にあり、半径がその対辺、高さが隣辺である。

   $\tan 30^{\circ} = \frac{r}{h} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{r}{\tan 30^{\circ}} = r\sqrt{3}$

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   高さを計算する。

   $h = 2.2\sqrt{3} = 3.810512\ \text{m}$

   半径よりも高さの方が大きい点に注意する——頂角 $60^{\circ}$ の円錐はかなり細身である。

4. 4

   体積の公式を適用する。

   $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2.2)^2 (3.810512) = \frac{1}{3}\pi (4.84)(3.810512)$

   $V = 19.3133\ \text{m}^3$

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   厳密な形を示し、妥当性を確かめる。 厳密には $V = \tfrac13\pi r^3\sqrt3 = \tfrac{\sqrt3}{3}\pi (2.2)^3 = \tfrac{\sqrt3\,\pi}{3}(10.648) \approx 19.313\ \text{m}^3$ である。確認として、同じ半径と高さの外接円柱の体積は $\pi r^2 h = 57.94\ \text{m}^3$ で、円錐はそのちょうど 3 分の 1、すなわち $19.31\ \text{m}^3$ である。