直径が 2.2 メートル、頂角が 60 度の円錐の体積を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   直径を半径に直す。

   $r=\frac{d}{2}=\frac{2.2}{2}=1.1\ \text{m}$

   体積の公式は半径を使うので、この変換を最初に済ませておく必要がある。

2. 2

   「60 度の円錐」の意味を確認する。 標準的な約束では、与えられた角は軸断面の 全体 の頂角、すなわち円錐を軸で切ったときに見える三角形の頂角である。軸はその角を二等分するので、先端の半頂角は

   $\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$

   となる。

3. 3

   半頂角から高さを求める。 軸・底面の半径・母線が作る直角三角形では、半径は $30^{\circ}$ の半頂角の 対辺、高さはその 隣辺 である。

   $\tan 30^{\circ}=\frac{r}{h}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{r}{\tan 30^{\circ}}=r\sqrt3=1.1\sqrt3\approx 1.9052\ \text{m}$

   $\tan 30^{\circ}=1/\sqrt3$ を使えば答えを厳密なまま保てる。

4. 4

   円錐の体積の公式を適用する。

   $V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(1.1)^2\left(1.1\sqrt3\right)=\frac{1.331\sqrt3}{3}\pi\ \text{m}^3$

   $(1.1)^2=1.21$、$1.21\times 1.1=1.331$ だからである。

5. 5

   数値で評価する。 $\sqrt3=1.7320508$ として

   $V=\frac{1.331(1.7320508)}{3}\pi=0.7684532\pi\approx 2.4142\ \text{m}^3$

6. 6

   外接する円柱と比べ、解釈の曖昧さにも触れる。 同じ半径と高さの円柱の体積は $\pi r^2h=\pi(1.21)(1.9052)=7.2425$ m$^3$ で、円錐はちょうどその 3 分の 1 である：$7.2425/3=2.4142$ ✓。念のため、もし $60^{\circ}$ が 半 頂角の意味だったなら $h=1.1/\tan 60^{\circ}=0.6351$ m、$V\approx 0.8047$ m$^3$ となる——3 倍の違いであり、どちらの約束かを明示することが重要な理由がここにある。