円柱座標 (r, θ, z) = (2, 30 度, 5) を直交座標に変換せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   変換の式を思い出す。 円柱座標は $xy$ 平面の極座標に、そのままの高さを付けたものである：

   $x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z$

   3 つ目の座標には手を加える必要がまったくない——変換はすべて平面の中で起こる。

2. 2

   $30^\circ$ の三角比の厳密値を代入する。

   $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac12$

   小数ではなく厳密な根号のまま扱うことで、答えも厳密に保たれる。

3. 3

   $x$ と $y$ を計算する。

   $x=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\approx 1.7321,\qquad y=2\cdot\frac12=1$

4. 4

   高さをそのまま引き継ぎ、点を書き下す。

   $(x,y,z)=\left(\sqrt3,\,1,\,5\right)\approx(1.7321,\,1,\,5)$

5. 5

   逆変換して検算する。 動径は $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3+1}=2=r\;\checkmark$、角は $\arctan\!\left(\tfrac{1}{\sqrt3}\right)=30^\circ\;\checkmark$ ——$x$ と $y$ がともに正であることが要求するとおり、第 1 象限にある。往復のどちらの確認も変換が正しいことを裏づけている。