円の外部の点 P から接線と割線を引く。P における角は 38 度、近いほうの弧は 64 度である。遠いほうの弧を求めよ。

Step-by-step solution

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   円の外部にできる角の定理を思い出す。 2 本の直線が円の外側で交わるとき——割線 2 本、接線と割線、接線 2 本のいずれでも——できる角は、切り取られる 2 つの弧の差の半分になる。

   $\angle P=\frac{1}{2}\left(\text{遠い弧}-\text{近い弧}\right)$

   覚えておく価値のある対比はこうである。頂点が円周上にある角は 1 つの弧の半分、円の内部にある角は 2 つの弧の和の半分になる。頂点の位置が使う規則を決める。

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   どちらの弧がどちらかを見きわめる。 近いほうの弧は 2 つの交点のうち $P$ に近い側にある弧（ここでは $64^{\circ}$）、遠いほうの弧は円の反対側にある弧である。遠いほうの弧は必ず大きいほうになるので、答えは $64^{\circ}$ を上回らなければならない——計算に入る前の有用な確認である。

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   与えられた値を代入する。

   $38=\frac{1}{2}\left(\text{遠}-64\right)$

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   未知の弧について解く。 両辺を 2 倍してから 64 を足す。

   $76=\text{遠}-64\ \Longrightarrow\ \text{遠}=140^{\circ}$

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   配置に矛盾がないか確かめる。 遠いほうの弧 $140^{\circ}$ は確かに近いほうの $64^{\circ}$ より大きく ✓、合わせて円の $204^{\circ}$ を使うので、接点によって切り取られる残り 2 つの弧に $156^{\circ}$ が残る——正の値なので図として成立する。代入し戻すと $\tfrac12(140-64)=\tfrac12(76)=38^{\circ}$ ✓。