ある土地は上底 12 m、下底 18 m、面積 60 m² の等脚台形である。囲むのに必要な柵の長さを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   面積から高さを復元する。 台形については

   $A=\frac{b_1+b_2}{2}\cdot h\quad\Longrightarrow\quad 60=\frac{12+18}{2}\cdot h=15h\quad\Longrightarrow\quad h=4\ \text{m}$

   となる。高さは、与えられた面積と未知の斜辺をつなぐ橋渡しである。

2. 2

   各脚の水平方向のはみ出しを求める。 短いほうの底の両端から長いほうの底へ垂線を下ろすと、合同な直角三角形が 2 つ切り取られる（「等脚」を使うのはここである）。この 2 つが長い底の余分な長さを分け合う。

   $\frac{18-12}{2}=3\ \text{m（各）}$

3. 3

   三平方の定理で脚を求める。 各直角三角形の直角をはさむ 2 辺は $3$ m と $4$ m である。

   $\text{脚}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ \text{m}$

   （おなじみの $3$–$4$–$5$ の三角形である。）

4. 4

   4 辺を足し合わせる。

   $P=12+18+5+5=40\ \text{m}$

   $\boxed{40\ \text{m の柵}}$

5. 5

   再構成した図形から面積を検算する。 この台形は真ん中の $12\times 4$ の長方形と、面積 $\tfrac12(3)(4)=6$ の直角三角形 2 つからなる。$48+6+6=60\ \text{m}^2$ ✓ で与えられた面積と一致する。単位が変わっていることにも注意したい。与えられたのは $\text{m}^2$ の面積だが、答えは m の長さである。