長方形 ABCD において三角形 BCD の面積は 8 で、辺 BC は 4√2 である。長方形の周の長さを求めよ。

Step-by-step solution

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   三角形と長方形の関係をとらえる。 $BD$ は長方形の対角線であり、対角線は長方形を合同な 2 つの直角三角形に分ける。したがって $\triangle BCD$ はちょうど長方形の半分である。

   $[ABCD]=2\times 8=16$

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   未知の辺を求める。 $BC=4\sqrt2$ を 1 辺とすると

   $CD=\frac{16}{4\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}$

   となる。

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   有理化する。 分子と分母に $\sqrt2$ を掛ける。

   $CD=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2$

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   周の長さを合計する。

   $P=2\left(4\sqrt2+2\sqrt2\right)=2\left(6\sqrt2\right)=12\sqrt2$

   $\boxed{12\sqrt2\approx 16.97}$

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   2 辺から面積を検算する。 $4\sqrt2\times 2\sqrt2=8\cdot 2=16$ ✓ なので三角形は $8$ ✓ である。三角形を直接計算しても $\tfrac12(4\sqrt2)(2\sqrt2)=\tfrac12(16)=8$ ✓ となり、半分にする段階と有理化の両方が裏づけられる。