座標平面上の点 A(2, 5) と B(5, 0) について、線分 AB の中点を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   中点の公式を思い出す。 線分の中点は両端点の座標ごとの平均である。

   $M = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

   これは平均であって差ではない。差が出てくるのは距離の公式や傾きの公式のほうである。

2. 2

   $x$ 座標を平均する。

   $x_M = \frac{2+5}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$

3. 3

   $y$ 座標を平均する。 0 も 1 つの値として数え、和に含めなければならない。

   $y_M = \frac{5+0}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

4. 4

   中点を書く。

   $M = (3.5,\ 2.5)$

5. 5

   $M$ が本当に中間にあるかを確かめる。 $A(2,5)$ から $M$ へは $\Delta x = +1.5$、$\Delta y = -2.5$。$M$ から $B(5,0)$ へも $\Delta x = +1.5$、$\Delta y = -2.5$ ✓——移動がまったく同じなので、$M$ は線分 $AB$ 上にあり両端から等距離である。距離も一致する。どちら側も $\sqrt{1.5^2+2.5^2} = \sqrt{8.5} \approx 2.9155$ であり、$|AB| = \sqrt{3^2+5^2} = \sqrt{34} \approx 5.8310$ のちょうど半分である。

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   紛らわしい選択肢を排除する。 $(3.5, 0)$ は $x$ だけを平均し $y$ を $B$ から写しただけ、$(3, 5)$ は差と写した座標を混ぜたもの、$(7, 5)$ は座標を足しただけで半分にしていない。