点 M(2, 2) は線分 RS の中点である。R(−1, 4) が一方の端点であるとき、端点 S の座標を求めよ。

Step-by-step solution

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   中点の公式を逆に使う。 $x_M = \dfrac{x_1+x_2}{2}$ の両辺を $2$ 倍して整理すると

   $x_2 = 2x_M - x_1, \qquad y_2 = 2y_M - y_1$

   となる。つまり中点を 2 倍して、分かっている端点を引けばよい。代わりに $M$ と $R$ を平均してしまうのはよくある反射的な誤りだが、それでは $S$ ではなく $RM$ の中点が出てしまう。

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   $x$ 座標に当てはめる。

   $x_S = 2(2) - (-1) = 4 + 1 = 5$

   点を落としやすいのは二重の負号である。$-1$ を引くことは $1$ を足すことである。

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   $y$ 座標に当てはめる。

   $y_S = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$

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   端点を述べる。

   $S = (5,\ 0)$

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   移動ベクトルの見方で確かめる。 $R(-1,4)$ から $M(2,2)$ へ進むと $\Delta x = +3$、$\Delta y = -2$ である。$M$ から同じ移動を繰り返すと $(2+3,\ 2-2) = (5,0)$ に着く ✓。これこそ「中点」の意味そのもの——同じ一歩を 2 回、である。

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   順方向の公式で検証する。 $R(-1,4)$ と $S(5,0)$ の中点は $\left(\dfrac{-1+5}{2},\ \dfrac{4+0}{2}\right) = (2,\,2)$ ✓ となり、$M$ が復元される。誤答候補の $(1,3)$ や $(3,0)$ はこの検証を通らない。