A(−1, 1)、B(4, 6) のとき線分 AB の長さを求めよ。次に (4, 1) と (16, −1) を結ぶ線分の中点を求めよ。

Step-by-step solution

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   2つの公式を混同しない。 見た目は似ているが、やっていることは正反対である：

   $d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}\quad(\text{引いてから2乗}),$
   $M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\quad(\text{足してから半分}).$

   距離は差を使うので符号に強いが、中点は和を使うので負の数の扱いを誤ると答えが変わってしまう。

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   (1) 差を計算する。

   $x_2-x_1=4-(-1)=5,\qquad y_2-y_1=6-1=5.$

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   (1) 距離の公式を適用し、根号を簡単にする。

   $AB=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\approx 7.071.$

   差が等しいということは、この線分が座標軸と$45^\circ$をなすということであり、だからこそ答えが$\sqrt2$のきれいな倍数になる。

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   (2) x 座標の平均を取る。

   $\frac{4+16}{2}=\frac{20}{2}=10.$

5. 5

   (2) 負号に注意しながら y 座標の平均を取る。

   $\frac{1+(-1)}{2}=\frac{0}{2}=0.$

   よって中点は$M(10,0)$である——$x$軸上にあるが、2点がその軸の1つ上と1つ下に対称に位置していることを考えれば当然である。

6. 6

   距離で中点を検算する。 $(4,1)$から$(10,0)$までは$\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$、$(10,0)$から$(16,-1)$までも同じく$\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$である。距離が等しいことから$M$が確かに中点であると確認できる。