直角三角形 ABC で ∠C = 90°、AC = 6、BC = 8 である。点 P は BC 上を動くが B とも C とも一致せず、PC = x とする。三角形 APB の面積 y を x の関数として表し、x の変域も答えよ。

Step-by-step solution

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   高さがすでに分かっているような底辺を選ぶ。 $P$ も $B$ も線分 $BC$ 上にあるので、三角形 $APB$ の底辺として $PB$ をとる。$\angle C=90^\circ$ なので辺 $AC$ は直線 $BC$ に垂直であり、$P$ がどこにあっても $PB$ に垂直である。したがって高さは定数

   $h=AC=6.$

   である。これがこの問題の要点である。動く点は底辺を変えるが、高さは決して変えない。

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   底辺を x で表す。 $P$ は $C$ と $B$ の間にあり $PC=x$、$CB=8$ なので

   $PB=BC-PC=8-x.$

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   三角形の面積公式を当てはめる。

   $y=\frac{1}{2}\cdot PB\cdot AC=\frac{1}{2}(8-x)(6)=3(8-x).$

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   求められた一次式の形に展開する。

   $y=24-3x.$

   $P$ が $B$ に向かって 1 だけ滑るごとに、面積は一定の割合 $3$ 平方単位ずつ減っていく。一次の関係とはまさにこういう形である。

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   x の変域は式ではなく図形から決める。 $P$ は線分 $BC$ 上にあり、どちらの端点とも一致しないので、$PC$ は $0$（$C$ のとき）と $8$（$B$ のとき）の間に厳密に収まる：

   $0<x<8.$

   両端が除かれるので、$y$ も極端な値 $24$ や $0$ には決して達しない——$x=8$ では 3 点が一直線上に並び、三角形そのものが存在しなくなる。