点 A(−1, 1) と B(1, 6) の距離、および点 C(5, 0) と D(4, 2) の距離を求め、どちらの線分が長いか答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   距離の公式を書き、符号が効かない理由を確認する。 2 点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ に対して

   $d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.$

   どちらの差も 2 乗されるので、引く順序を逆にしても距離は変わらない——座標に負の数が混じるときに頼りになる性質である。

2. 2

   A と B について差を計算する。

   $x_2-x_1=1-(-1)=2,\qquad y_2-y_1=6-1=5.$

   符号ミスが忍び込むのは二重の負号のところである。$1-(-1)$ は $2$ であって $0$ ではない。

3. 3

   AB を求める。

   $AB=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\approx 5.385.$

   $29$ は素数なので、根号はこれ以上簡単にできない。

4. 4

   C と D について差を計算し、CD を求める。

   $x_2-x_1=4-5=-1,\qquad y_2-y_1=2-0=2,$
   $CD=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx 2.236.$

   予告どおり、負の差は 2 乗されて消える。

5. 5

   比べる。 $29>5$ であり平方根は増加関数なので $\sqrt{29}>\sqrt{5}$ となり、$AB$ のほうが長い線分である——およそ $2.4$ 倍の長さである。

6. 6

   三平方の定理の図で確かめる。 $AB$ は 2 辺が $2$ と $5$ の直角三角形の斜辺、$CD$ は 2 辺が $1$ と $2$ の直角三角形の斜辺である。距離の公式は、その 2 辺に三平方の定理を当てはめたものにほかならない。