三角形 ABC で AB = AC とする。頂点 B から AC への垂線 BH（垂足 H）と、頂点 C から AB への垂線 CK（垂足 K）を引く。BK = CH であること、および KH が BC に平行であることを証明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   仮定から得られるものを整理する。 $AB=AC$なので三角形$ABC$は$A$を頂点とする二等辺三角形であり、底角は等しい：$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$。2本の垂線からは直角$\widehat{BHA}=\widehat{BHC}=90^\circ$と$\widehat{CKA}=\widehat{CKB}=90^\circ$が生じる。証明全体は、$A$を通る軸に関する図形の対称性の上に成り立っている。

2. 2

   2つの直角三角形 BKC と CHB が合同であることを示す。 $\triangle BKC$と$\triangle CHB$を比べる：

   • $\widehat{BKC}=\widehat{CHB}=90^\circ$（垂線による）、
   • $BC$は共通の斜辺、
   • $\widehat{KBC}=\widehat{HCB}$（二等辺三角形の等しい底角）。

   斜辺と1つの鋭角が等しいので、$\triangle BKC\cong\triangle CHB$である。

3. 3

   (a) を読み取る。 合同な三角形の対応する辺は等しく、1つ目の$BK$は2つ目の$CH$に対応するので：

   $BK=CH$

   これが (a) である。副産物として$CK=BH$も得られる——等しい2辺へ下ろした2本の垂線は長さが等しい。

4. 4

   等式を2辺上の比に読み替える。 $AB=AC$かつ$BK=CH$なので、引き算して$AK=AB-BK=AC-CH=AH$となる。したがって

   $\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}$

   であり、両辺は同じ値である。これはまさにタレスの定理の逆が要求する比例関係である。

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   タレスの定理の逆を使って (b) を得る。 点$K$と$H$は三角形$ABC$の辺$AB$と$AC$の上にあり、それらを同じ比に分けているので、直線$KH$は第3の辺に平行である：

   $KH\parallel BC$

   同じことだが、$A$における共通の角と挟む2辺の比例から$\triangle AKH\sim\triangle ABC$（2辺とその間の角による相似）が言え、対応する角$\widehat{AKH}=\widehat{ABC}$が従って平行性が出る。

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   座標で検証する。 $B=(-b,0)$、$C=(b,0)$、$A=(0,h)$と置けば$AB=AC$は自動的に成り立つ。$H$と$K$を垂足として計算すると、ランダムに選んだ6組の$(b,h)$のいずれでも$BK=CH$が$10^{-9}$以内で成り立ち、$AK=AH$も同様であり、$K$と$H$の$y$座標は常に一致する——つまり$KH$は水平であり、$BC$とちょうど同じ向きである ✓。