三角形 ABC で AB = 30 cm、AC = 45 cm、BC = 50 cm である。∠A の二等分線が BC と交わる点を D とする。(a) BD と CD を求めよ。(b) D を通り AB に平行な直線が AC と交わる点を E、AC に平行な直線が AB と交わる点を F とする。DE と DF を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   角の二等分線の定理を使う。 $A$ から引いた内角の二等分線は、対辺を隣り合う 2 辺の比に分ける：

   $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$

   残り 2 辺の比ではないこと、そして中点でもないことに注意する。二等分線は短い辺の側に寄って落ちる。

2. 2

   比を長さに直す。 $BD=2x$、$CD=3x$ と置く。$D$ は線分 $BC$ 上にあるので、2 つの部分の和は全体に等しい：

   $2x+3x=50\quad\Longrightarrow\quad 5x=50\quad\Longrightarrow\quad x=10$

   したがって

   $BD=20\ \text{cm},\qquad CD=30\ \text{cm}$

   となる。検算：$20+30=50$ ✓、$20:30=2:3$ ✓。

3. 3

   相似な三角形から DE を求める。 $DE\parallel AB$ なので、$\triangle CDE$ の $D$ と $E$ における角は $\triangle CBA$ の $B$ と $A$ における角と一致し（同位角）、$\triangle CDE\sim\triangle CBA$ となる。$DE$ を $AB$ に、$CD$ を $CB$ に対応させると：

   $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DE}{30}=\frac{30}{50}\quad\Longrightarrow\quad DE=18\ \text{cm}$

   要点は $DE$ を $AC$ ではなく $AB$ と対応させることである（どちらも頂点 $C$ における角の向かい側にある辺に当たる）。

4. 4

   もう一方の頂点から同様に DF を求める。 $DF\parallel AC$ なので $\triangle BDF\sim\triangle BCA$ となり

   $\frac{DF}{AC}=\frac{BD}{BC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DF}{45}=\frac{20}{50}\quad\Longrightarrow\quad DF=18\ \text{cm}$

   が得られる。

5. 5

   DE と DF が等しくなる理由を説明する。 どちらも $18$ cm であり、これは偶然ではない。$DE\parallel AB$ かつ $DF\parallel AC$ なので四角形 $AFDE$ は平行四辺形であり、$AF=DE$、$AE=DF$ となる。しかも $AD$ は角 $A$ の二等分線であると同時にこの平行四辺形の対角線でもあるので、隣り合う 2 辺は等しくならざるを得ない。つまりこの平行四辺形はひし形であり、$DE=DF$ となる。式で言えば、$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$ が成り立つからこそ $AB\cdot\frac{CD}{BC}=AC\cdot\frac{BD}{BC}$ が成り立つのである。

6. 6

   座標で検算する。 $A=(0,0)$、$B=(30,0)$ とし、$C$ を $AC=45$、$BC=50$ を満たす点にとり、$D$ を $B$ から $C$ へ $\tfrac{20}{50}$ だけ進んだ点にとる。計算すると距離は $BD=20.000$、$CD=30.000$、直線 $AD$ は $AB$ と $AC$ に等しい角をなし、2 本の平行線からは $DE=18.000$、$DF=18.000$ が得られる ✓。