円 (x − 0.5334)² + (y − 0.5334)² = 0.3475² と直線 √3/3 × x − y = 0 の交点を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   直線を$x$の式として$y$について解いた形に直す。

   $y=\frac{\sqrt3}{3}x=\frac{x}{\sqrt3}\approx 0.5773503\,x$

   傾きが$\tan 30^\circ$なので、この直線は原点を通り$30^\circ$の角をなす。

2. 2

   円の方程式に代入する。 $y$を置き換えると、2変数の連立が1本の2次方程式になる：

   $(x-0.5334)^2+\left(\frac{x}{\sqrt3}-0.5334\right)^2=0.3475^2$

   展開して$x$のべきについて整理すると$Ax^2+Bx+C=0$の形になり、

   $A=1+\frac13=\frac43,\qquad B=-2(0.5334)-\frac{2(0.5334)}{\sqrt3}=-1.6827173,\qquad C=2(0.5334)^2-0.3475^2=0.4482749$

3. 3

   解く前に判別式を調べる。

   $\Delta=B^2-4AC=2.8315374-2.3907993=0.4407381>0$

   判別式が正であれば直線は実際に円を2回横切る。ゼロなら接し、負なら円とまったく交わらない。先にこれを見ておけば、答えがいくつになるかが分かる。

4. 4

   2次方程式を解く。

   $x=\frac{1.6827173\pm\sqrt{0.4407381}}{2(4/3)}=\frac{1.6827173\pm 0.6638811}{2.6666667}$

   $x_1=0.879974,\qquad x_2=0.382064$

5. 5

   直線の式から$y$座標を復元する。

   $y_1=0.5773503(0.879974)=0.508053,\qquad y_2=0.5773503(0.382064)=0.220585$

   したがって交点は$(0.8800,\,0.5081)$と$(0.3821,\,0.2206)$である。

6. 6

   2点が円上にあることを確認する。 代入すると$(0.879974-0.5334)^2+(0.508053-0.5334)^2=0.120756=0.3475^2\;\checkmark$であり、2点目も小数第12位まで同様に成り立つ。なお第1の点を$(0.8806,\,0.5084)$と丸めてしまうと、円の式からおよそ$4\times 10^{-4}$ずれてしまう。