辺の長さが 4、8、11 の三角形は何個作れるか。

Step-by-step solution

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   どの存在条件を使うかを見極める。 3 つの辺がすべて与えられているので、これは SSS の状況である。SSA と違って SSS では曖昧な場合が生じない。三角形が存在するなら、合同を除いて一意である。よって答えは $0$ か $1$ しかありえない。

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   三角不等式を述べる。 3 つの正の長さが三角形をなすのは、どの 1 つも他の 2 つの和より短いときに限る：

   $a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a$

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   $a=4$、$b=8$、$c=11$ で 3 つの不等式をすべて確かめる。

   $4+8=12>11\qquad\checkmark$
   $4+11=15>8\qquad\checkmark$
   $8+11=19>4\qquad\checkmark$

   実際には最初の 1 つを確かめれば十分である——最長の辺が関わる不等式がつねに決め手になる。

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   きわどさに注目する。 余裕は $12>11$ しかない。もし最長辺が $12$ だったら 3 つの長さは一直線上に並んでしまい（退化した三角形）、$13$ なら三角形はまったく存在しない。

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   結論する。 3 つの不等式がすべて成り立ち、SSS が形を決めるので、作れる三角形はちょうど

   $\boxed{1}$

   個である。さらなる確認として、$11$ に対する最大角は $\cos C=\tfrac{16+64-121}{2\cdot 4\cdot 8}=-\tfrac{41}{64}$ を満たす。これは余弦として正当な値であり $C\approx 129.8^\circ$ ——最長辺がぎりぎり収まっているときに予想されるとおり、鈍角である。