三角形 ABC において、角の二等分線 AE と BD が O で交わる。AB = 12 cm、OA/OE = 3/2、AD/DC = 6/7 のとき AC を求めよ。

Step-by-step solution

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   1 本目の二等分線から BC を求める。 $BD$ は角 $B$ を二等分し $AC$ 上の $D$ で交わるので、三角形 $ABC$ における角の二等分線の性質から、B に隣り合う辺の比が得られる：

   $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{6}{7}=\frac{12}{BC}\quad\Longrightarrow\quad BC=14\ \text{cm}$

   対応関係を取り違えないことが肝心である。$AD$ は $AB$ に、$DC$ は $BC$ に対応する。

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   2 つ目の条件をさばく手を見つける。 比 $\dfrac{OA}{OE}$ は線分 $AE$ 上で測られており、$O$ は $BD$ がそれと交わる点である。$BD$ が角 $B$ を二等分し、$A$、$O$、$E$ が一直線上にあることから、線分 $BO$ は三角形 $ABE$ の内部で角 $B$ の二等分線になっている。この小さい三角形に二等分線の性質を当てはめると：

   $\frac{OA}{OE}=\frac{BA}{BE}$

   この一手の観察こそが、座標を持ち出さずに初等的な道具だけでこの問題を解けるようにしている。

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   BE を未知数 AC で表す。 $AE$ は角 $A$ を二等分するので、三角形 $ABC$ において $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AB}{AC}$ である。$BE+EC=BC=14$ と合わせて：

   $BE=BC\cdot\frac{AB}{AB+AC}=\frac{14\cdot12}{12+AC}=\frac{168}{12+AC}$

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   与えられた比に代入して解く。

   $\frac{OA}{OE}=\frac{AB}{BE}=\frac{12}{\dfrac{168}{12+AC}}=\frac{12\,(12+AC)}{168}=\frac{12+AC}{14}$

   これを $\tfrac32$ に等しいとおくと：

   $\frac{12+AC}{14}=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad 12+AC=21\quad\Longrightarrow\quad AC=9\ \text{cm}$

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   三角形として成立するかを確かめる。 $AB=12$、$BC=14$、$AC=9$ では三角不等式がすべて成り立つ：$12+9=21>14$、$12+14>9$、$9+14>12$ ✓。したがってこのデータは退化した図形ではなく、本物の三角形を表している。

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   与えられた 2 つの比を独立に検証する。 $AC=9$ のとき $BE=\frac{14\cdot12}{21}=8$ なので $\frac{AB}{BE}=\frac{12}{8}=\frac32$ ✓ となり、$\frac{OA}{OE}$ と一致する。また $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{14}=\frac67$ ✓ である。この三角形を座標上に作り、2 本の二等分線を実際に交わらせても $OA/OE=1.500000$、$AD/DC=0.857143=\tfrac67$ が得られる ✓。