点 A は (1, 10) から (−8, 4) への線分を 3 分の 2 進んだ位置にある。点 B は C(0, −7) と D(6, −11) を結ぶ線分の中点である。距離 AB を求めよ。

Step-by-step solution

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   A のために内分の公式を立てる。 $P$ から $Q$ へ割合 $t$ だけ進んだ点は $P+t(Q-P)$ である。ここでは $t=\frac23$、$P=(1,10)$、$Q=(-8,4)$ なので、変位は $Q-P=(-9,-6)$ である。

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   A を計算する。 $A=(1,10)+\frac23(-9,-6)=(1-6,\ 10-4)=(-5,6)$。$-9$ と $-6$ がどちらも $3$ で割り切れるので、座標は整数になる。

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   中点の公式で B を求める。 中点は座標の平均である：$B=\left(\frac{0+6}{2},\frac{-7+(-11)}{2}\right)=(3,-9)$。

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   距離の公式を当てる。 $AB=\sqrt{(3-(-5))^2+(-9-6)^2}=\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$。

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   根号を簡単にする。 $\sqrt{289}=17$ なので $AB=17$ である。$8$ と $15$、斜辺 $17$ はよく知られたピタゴラス数の組であり、計算が正しいことのよい目印になる。

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   A が本当に 3 分の 2 の位置かを確かめる。 $(1,10)$ から $A(-5,6)$ までの距離は $\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\approx 7.211$、線分 $(1,10)$–$(-8,4)$ の全長は $\sqrt{81+36}=\sqrt{117}\approx 10.817$ である。比は $7.211/10.817=0.6667$ で、ちょうど 3 分の 2 である。