放物線 (x - 1)^2 = 8(y - 2) の頂点、焦点、対称軸、準線を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの標準形のどちらに当てはまるかを決める。 2 乗されている 変数は $x$ なので、この放物線は縦向きに開く。したがって型は

   $(x-h)^2 = 4p(y-k)$

   に定まる。もし 2 乗されているのが $y$ なら放物線は横向きに開き、以下の公式はすべて役割が入れ替わる。

2. 2

   項ごとに照合して $h$、$k$、$p$ を読み取る。 $(x-1)^2 = 8(y-2)$ を型と比べると $h = 1$、$k = 2$、$4p = 8$ なので

   $p = 2$

   である。$p > 0$ なので放物線は上に開く。

3. 3

   頂点は $(h,k)$ である。 照合からそのまま、頂点は $(1, 2)$ である。

4. 4

   焦点は軸に沿って頂点から $p$ だけ離れた点にある。 縦向きの放物線では焦点は $(h,\; k+p)$ である。

   $(1,\; 2+2) = (1, 4)$

5. 5

   準線は反対側に $p$ だけ離れた位置にあり、軸は両方を通る。 対称軸は頂点を通る鉛直線 $x = h = 1$ である。準線は水平な直線 $y = k - p = 2 - 2 = 0$、すなわち $x$ 軸である。

6. 6

   焦点と準線による定義で検証する。 点 $(5, 4)$ をとると $(5-1)^2 = 16 = 8(4-2)$ なので、この点はたしかに放物線上にある。焦点 $(1,4)$ までの距離は $4$、準線 $y = 0$ までの距離も $4$ である。距離が等しいことから、焦点と準線の両方が確かめられる。