直角二等辺三角形の頂点が (0,0)、(4,0)、(0,4) である。半径 2 の円が (2,2) を中心とする。両方に共通する部分の面積を求めよ。

Step-by-step solution

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   両方の領域を不等式で書く。 三角形は $x\ge0$、$y\ge0$、$x+y\le4$ であり、円板は

   $(x-2)^2+(y-2)^2\le 4$

   である。共通部分は 4 つの条件を同時に満たす集合なので、三角形の 3 つの制約を 1 つずつ円板と突き合わせる必要がある。

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   斜辺の制約を調べる。 中心 $(2,2)$ は $2+2=4$ を満たすので、中心は直線 $x+y=4$ のちょうど上にある。円の中心を通る直線は直径を含む直線なので、円板を合同な 2 つに切り分ける。

   $x+y\le4\text{ を満たす円板の面積}=\tfrac12\pi(2)^2=2\pi$

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   2 本の直角をはさむ辺の制約を調べる。 $(2,2)$ から $x$ 軸までの距離は $2$、$y$ 軸までの距離も $2$ であり、どちらも半径に等しい。したがって円は各軸に接しており（接点は $(2,0)$ と $(0,2)$）、どちらの軸も横切らない。

   よって円板はすべて $x\ge0,\ y\ge0$ の中に収まり、この 2 つの辺は何も削り取らない。

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   3 つの検討を統合する。 円板を切るのは斜辺だけで、しかもそれは円板をちょうど半分にする。共通部分は $x+y\le4$ の側の半円板そのものである：

   $\text{面積}=\tfrac12\cdot\pi r^2=\tfrac12\cdot 4\pi=2\pi$

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   大きさの妥当性を確認する。 三角形の面積は $\tfrac12(4)(4)=8$、円板全体の面積は $4\pi\approx12.57$ である。重なりの $2\pi\approx6.283$ はどちらよりも小さく、三角形のおよそ 79% を占める——斜辺に寄り添う半円板という描像と整合している ✓。