2 つの相似な多角形の相似比が 2 対 3 である。小さい方と大きい方を比べたときの面積比を求めよ。2:3、3:2、9:4、4:9 から選べ。

Step-by-step solution

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   登場する 2 種類の比を区別する。 相似比は長さの比である。問われているのは面積の比であり、図形が合同でない限りこの 2 つが等しくなることはない。ページに書かれている $2:3$ をそのまま選ぶのが、ここでの定番の罠である。

2. 2

   2 乗がどこから来るのかを見る。 それぞれの多角形を三角形に分割する。大きい方の各三角形は、対応する小さい方の三角形に比べて底辺も高さも $\tfrac{3}{2}$ 倍なので、面積 $\tfrac12 bh$ には倍率が 2 回掛かる：

   $\frac{\text{面積}_{\text{大}}}{\text{面積}_{\text{小}}}=\frac{\tfrac12\left(\tfrac32 b\right)\left(\tfrac32 h\right)}{\tfrac12 bh}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$

   三角形を足し戻しても同じ倍率が保たれるので、多角形全体でもこの規則が成り立つ。

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   問われている順序どおりに規則を適用する。 小さい方 対 大きい方なので辺の比は $\dfrac{2}{3}$ であり、これを 2 乗する：

   $\frac{A_{\text{小}}}{A_{\text{大}}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$

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   誤答の選択肢と照らし合わせる。 $2:3$ は 2 乗を忘れたもの、$3:2$ と $9:4$ はどちらも順序が逆で、大きい方を小さい方と比べたものになっている。2 乗されていて順序も正しいのは $4:9$ だけである。

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   結果を述べる。 小さい方 対 大きい方の面積比は

   $A_{\text{小}}:A_{\text{大}}=4:9$

   である。