2 つの同心円がある。外側の円の円周は 132 インチ、内側の円の半径は 17.5 インチである。π = 22/7 として、その間の円環の面積を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   円周から外側の半径を求める。

   $R=\frac{132}{2\pi}=\frac{132}{\frac{44}{7}}=132\cdot\frac{7}{44}=3\cdot 7=21\ \text{in}.$

   $\pi=\tfrac{22}{7}$ とすると $44$ が $132$ をちょうど 3 回で割り切るので、小数が現れない。

2. 2

   円環の面積を 2 つの円の面積の差として書く。 円環は大きい円板から小さい円板を取り除いたものである：

   $A_{\text{環}}=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right).$

3. 3

   2 つの半径を 2 乗せず、平方の差として因数分解する。

   $R^{2}-r^{2}=(R-r)(R+r)=(21-17.5)(21+17.5)=3.5\times 38.5.$

   こうすれば $441-306.25$ を計算せずに済み、数を小さく保てる——それが因数分解の狙いである。

4. 4

   掛け算を実行する。

   $3.5\times 38.5=134.75,$

   なので

   $A_{\text{環}}=\frac{22}{7}\times 134.75.$

   となる。

5. 5

   厳密な分数で仕上げる。 $3.5=\tfrac72$ と書けば $7$ が約分できる：

   $A_{\text{環}}=\frac{22}{7}\cdot\frac{7}{2}\cdot 38.5=11\times 38.5=423.5\ \text{in}^2.$

6. 6

   素直な方法でも検算する。 $\pi R^2=\tfrac{22}{7}(441)=1386$、$\pi r^2=\tfrac{22}{7}(306.25)=962.5$ であり、その差は $1386-962.5=423.5\ \text{in}^2$ ✓ となる。