体積が 729 立方センチメートルの立方体の表面積を求めよ。512、486、294、384 平方センチメートルから選べ。

Step-by-step solution

1. 1

   体積から直接面積へ行かず、必ず 1 辺を経由する。 体積と表面積は辺 $a$ を通してのみ結びついている。

   $V=a^{3},\qquad S=6a^{2}.$

   2 つの式は次数が異なるので、$a$ を飛ばす近道は存在しない。

2. 2

   体積の立方根をとる。

   $a=\sqrt[3]{729}=9\ \text{cm},$

   なぜなら $9^3=9\cdot 9\cdot 9=81\cdot 9=729$ だからである。$729=3^6=(3^2)^3$ と見抜ければ即座に分かる。

3. 3

   1 面の面積を求める。 各面は 1 辺 $a$ の正方形である。

   $a^{2}=9^{2}=81\ \text{cm}^2.$

4. 4

   6 つの面の分を掛ける。

   $S=6\cdot 81=486\ \text{cm}^2,$

   すなわち選択肢 2 である。

5. 5

   誤答の選択肢を確かめる。 $512=8^3$ は面積ではなく体積で、1 辺 $8$ の立方体に属する。$384=6\cdot 8^2$ はその誤った立方体の表面積、$294=6\cdot 7^2$ は 1 辺 $7$ のものである。いずれも立方根の取り違えに対応しており、それこそがこの問題の問うている点である。