2 つの正六角形の辺の比が 3:5 である。小さい方の面積が 81 m² のとき、大きい方の面積はいくらか。240、125、135、225 m² から選べ。

Step-by-step solution

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   正六角形どうしは必ず相似であることに注意する。 6 辺が等しく 6 角が等しいという条件だけで形は完全に決まるので、2 つの六角形は拡大率だけが違う。だからこそ相似の規則が使える。六角形の面積公式 $\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ はまったく必要ない。

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   拡大に対して面積がどう振る舞うかを思い出す。 長さが $k$ 倍になると面積は $k^2$ 倍になる。面積は長さ 2 つの積だからである。ここでは

   $k=\frac{\text{大きい方の辺}}{\text{小さい方の辺}}=\frac{5}{3}\quad\Longrightarrow\quad \frac{A_{\text{大}}}{A_{\text{小}}}=k^{2}=\frac{25}{9}.$

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   既知の面積に比の 2 乗を掛ける。

   $A_{\text{大}}=81\cdot\frac{25}{9}=9\cdot 25=225\ \text{m}^2.$

   $9$ が $81$ をちょうど割り切るのは、この道筋を想定して問題が作られている良い証拠である。

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   明示的な公式でも確かめる。 1 辺 $s$ の正六角形では $A=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ である。$81=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ から $s^2=\tfrac{162}{3\sqrt3}=\tfrac{54}{\sqrt3}$ が得られ、大きい方の辺は $S=\tfrac53 s$ を満たすので $S^2=\tfrac{25}{9}s^2$、よって $A_{\text{大}}=\tfrac{25}{9}\cdot 81=225$ となる。同じ答えだが、手間は多い。

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   誤答の選択肢をつぶす。 $135=81\cdot\tfrac53$ は、比の 2 乗ではなく比そのものを掛けてしまった結果である——これが定番の罠である。$125=5^3$ と $240$ は問題のどこにも対応しない。答えは $225\ \text{m}^2$ である。