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Geometry · real student question

三角形 ABC で ∠C = 14°、AD は ∠A の二等分線で ∠BAD = 28° である。∠ADB を度数で求めよ。

Question

三角形 ABCABC において ∠C=14∘\angle C = 14^{\circ} であり、ADAD は ∠A\angle A の二等分線で ∠BAD=28∘\angle BAD = 28^{\circ} である。∠ADB\angle ADB を求めよ。

Step-by-step solution

  1. 二等分線から角 A の全体を復元する。 二等分線は ∠A\angle A を等しい 2 つに分け、その一方が与えられている：

    ∠BAD=∠DAC=28∘⟹∠A=2×28∘=56∘\angle BAD = \angle DAC = 28^{\circ} \quad\Longrightarrow\quad \angle A = 2 \times 28^{\circ} = 56^{\circ}

    与えられた 28∘28^{\circ} の意味はここにある。これは半分の角であって、角そのものではない。

  2. 三角形 ABC で内角の和を使う。

    ∠A+∠B+∠C=180∘⟹56∘+∠B+14∘=180∘\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \quad\Longrightarrow\quad 56^{\circ} + \angle B + 14^{\circ} = 180^{\circ}

    ∠B=110∘\angle B = 110^{\circ}

    この三角形は BB で鈍角であり、与えられた 2 つの角が小さいことと整合している。

  3. 小三角形 ABD に移る。 点 DD は辺 BCBC 上にあるので、三角形 ABDABD の中の BB における角は元と同じ ∠ABC=110∘\angle ABC = 110^{\circ} である——半直線 BABA と半直線 BCBC（BDBD を含む）は変わっていないからである。

  4. 三角形 ABD で内角の和を閉じる。

    ∠ADB=180∘−∠BAD−∠ABD=180∘−28∘−110∘=42∘\angle ADB = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle ABD = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 110^{\circ} = 42^{\circ}

  5. もう一方の小三角形で検算する。 三角形 ACDACD では ∠DAC=28∘\angle DAC = 28^{\circ}、∠C=14∘\angle C = 14^{\circ} なので ∠ADC=180∘−42∘=138∘\angle ADC = 180^{\circ} - 42^{\circ} = 138^{\circ} となる。∠ADB\angle ADB と ∠ADC\angle ADC は直線 BCBC 上で補角をなすので ∠ADB=180∘−138∘=42∘\angle ADB = 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ} となり、独立な経路で同じ答えが得られる。（同じことだが、外角定理を使えば ∠ADB=∠DAC+∠C=28∘+14∘=42∘\angle ADB = \angle DAC + \angle C = 28^{\circ} + 14^{\circ} = 42^{\circ} と直接求まる。）

Answer

∠ADB=42∘\angle ADB = 42^{\circ}

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