四角形 ABCD で ∠A = ∠B/2 = ∠C/3 = ∠D/4 である。4 つの角をすべて求めよ。

Step-by-step solution

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   等式の連鎖を 1 つの助変数に置き換える。 4 つの式がすべて等しいのだから、その共通の値に名前を付ける： $\widehat{A}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{3}=\frac{\widehat{D}}{4}=x.$ これで 1 つの未知数が 4 つの角すべてを支配することになる。

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   各角を x で表す。 それぞれの式を払うと $\widehat{A}=x,\quad \widehat{B}=2x,\quad \widehat{C}=3x,\quad \widehat{D}=4x.$ となる。つまり角の比は $1:2:3:4$ である。元の式の分母がそのまま倍率になっている点に注目したい。

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   四角形の内角の和を使う。 四角形は 2 つの三角形に分けられるので、内角の総和は $2\times180^\circ = 360^\circ$ である： $x+2x+3x+4x = 360^\circ.$

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   x を求める。 $10x = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad x = 36^\circ.$

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   代入して戻す。 $\widehat{A}=36^\circ,\quad \widehat{B}=72^\circ,\quad \widehat{C}=108^\circ,\quad \widehat{D}=144^\circ.$

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   和と図形の存在を確認する。 $36+72+108+144 = 360$ となり、条件どおりである。4 つの角はいずれも $180^\circ$ 未満なので、このような凸四角形は実際に存在する。なお $\widehat{B}+\widehat{D} = 72+144 = 216^\circ \ne 180^\circ$ なので、円に内接する四角形ではない。