(1 + x) の 20 乗が 1.1207 に等しいとき、x を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   構造を見抜く。 これは複利型の方程式である。$1.1207$ は $20$ 期にわたって積み上がった成長倍率の総和的な値であり、$x$ が 1 期あたりの利率にあたる。指数が偶数なので、実数の $20$ 乗根は正のほうをとる（底が負だと $1+x<0$ となり、成長倍率として意味をなさない）。

2. 2

   べき乗を根で戻す。 両辺を $\tfrac{1}{20}$ 乗すると $1+x = 1.1207^{1/20} = \sqrt[20]{1.1207}.$

3. 3

   対数を使って根を評価する。 $\ln 1.1207 = 0.11395349$ なので $\tfrac{1}{20}\ln 1.1207 = 0.00569767$ となり、$1+x = e^{0.00569767} = 1.00571394.$ 対数を経由すれば、平方根を繰り返しとる方法で生じる丸め誤差の蓄積を避けられる。

4. 4

   1 を引いて利率を取り出す。 $x = 1.00571394 - 1 = 0.00571394 \approx 0.5714\%\ \text{（1 期あたり）}.$

5. 5

   複利で戻して検算する。 $1.00571394^{20} = 1.120700$ となり、右辺を小数第 6 位まで再現するので、この根は正しい。

6. 6

   線形の見積もりが近いのに一致しない理由。 総成長を単純に等分すると $\tfrac{0.1207}{20}=0.60\%$ に見えるが、真の利率 $0.5714\%$ はそれより小さい。複利が仕事の一部を肩代わりしているからである。$20$ 期にわたる差は利率の約 $5\%$ にあたる。