(1 + x) の 10 乗 = 1.1207 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   方程式を成長の記述として読む。 ある量が $10$ 回の等しい期間で $1.1207$ 倍（すなわち $12.07\%$ の増加）になっており、$x$ が各期に適用される利率である。未知数は $10$ 乗の中に閉じ込められているので、逆の操作は累乗根である。

2. 2

   両辺の 10 乗根を取る。 $1+x = 1.1207^{1/10} = \sqrt[10]{1.1207}.$ 成長倍率である以上 $1+x$ は正でなければならないので、正の根だけが適する。

3. 3

   自然対数で累乗根を計算する。 $\ln 1.1207 = 0.11395349$ なので $\tfrac{1}{10}\ln 1.1207 = 0.01139535$ であり $1+x = e^{0.01139535} = 1.01146052.$ となる。

4. 4

   x について解く。 $x = 1.01146052 - 1 = 0.01146052 \approx 1.1461\%\ \text{（1 期あたり）}.$

5. 5

   複利で戻して検証する。 $1.01146052^{10} = 1.120700$ となり与えられた倍率が再現されるので、答えが確かめられる。

6. 6

   20 期の場合と比べる。 期数を半分にすると利率はおよそ 2 倍になる。$0.00571394 \times 2 = 0.01142788$ に対し厳密値は $0.01146052$ である。このわずかな超過分が複利による補正であり、利率は期数に対して厳密に比例するわけではない。