(1 + x) の 15 乗 = 1.0306 を解け。

Step-by-step solution

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   逆の操作を用意する。 未知数は $15$ 乗の中にあるので、両辺を逆数の指数で累乗する。$1+x = 1.0306^{1/15} = \sqrt[15]{1.0306}.$ 奇数乗根の実数値は一意なので、ここで符号のあいまいさは生じない。

2. 2

   累乗根を繰り返すのではなく対数を使う。 $\ln 1.0306 = 0.03014116$ である。これを $15$ で割ると $\tfrac{0.03014116}{15} = 0.00200941$ になる。

3. 3

   指数に戻す。 $1+x = e^{0.00200941} = 1.00201143.$ 小さい $t$ に対して $e^{t}\approx 1+t$ であることに注意したい。だからこそ指数 $0.00200941$ と結果の小数部 $0.00201143$ はほとんど同じに見え、違いは有効数字 3 桁目にしか現れない。

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   1 を引いて利率を得る。 $x = 1.00201143 - 1 = 0.00201143 \approx 0.2011\%\ \text{（1 期あたり）}.$

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   複利で前向きに検算する。 $1.00201143^{15} = 1.030600$ となり、与えられた倍率そのものである。

6. 6

   十分な桁を保つ。 累乗根を $1.0020$ に丸めると $0.20\%$ となり、これを $15$ 回複利にかけても $1.030424$ にしかならない——成長倍率の小数第 4 位ですでにずれている。利率が小さく期数が多い場合は、最後に丸めるまで有効数字を少なくとも 8 桁は保つこと。