Mia は 21 歳から、年利 7.2%・四半期複利の口座に毎四半期 700 ドルを預け始める。20 年後、彼女自身が預けた額と利息はそれぞれいくらか。

Step-by-step solution

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   APR を四半期利率に直し、期数を数える。 四半期複利は 1 年に 4 期という意味である。

   $i = \frac{0.072}{4} = 0.018, \qquad n = 4 \times 20 = 80$

   利率はここではちょうど割り切れる——循環小数にならない——ので、丸め誤差の元が 1 つ減る。

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   Mia 自身が拠出する額を求める。 この部分に利息はまったく関係なく、単に払込額と回数の積である。

   $700 \times 80 = \$56{,}000$

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   積立の倍率を計算する。

   $(1.018)^{80} = 4.16698791$

   代わりに $4.158880$ を使うと——小数第 3 位での誤りだが——最終残高が \300$ 以上小さくなってしまう。

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   将来価値を計算する。

   $FV = 700 \cdot \frac{(1.018)^{80} - 1}{0.018} = 700 \times \frac{3.16698791}{0.018} = 700 \times 175.943773 = \$123{,}160.64$

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   引き算して利息だけを取り出す。

   $123160.64 - 56000 = \$67{,}160.64$

   利息は最終残高の $54.5\%$ を占める——$20$ 年という期間、$7.2\%$ という利率では、複利のほうが積立者本人より多くを積み上げるのである。

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   大まかな上下限で確認する。 すべてのドルが $20$ 年間まるまる運用されていたなら残高は 56000 \times 4.16699 = \233{,}351$、まったく利息が付かなければ$$56{,}000$になる。計算した$$123{,}160.64$ はその間にあり、平均的な運用期間が期間のおよそ半分であることと整合する。