20 年ローンの総支払額は 5,800 ドルだった。金利が年 6.6 パーセントの月複利だったとすると、元金はいくらか。

Step-by-step solution

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   「支払額」と「元金」を結ぶ公式を選ぶ。 一定の期利率で増える 1 回きりの元本は、複利の法則

   $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$

   に従う。$P$ 以外はすべて与えられているので、これは未知数 1 つの方程式である。問題が述べているのは支払いの流れではなく最終の 1 回の支払いなので、年金の公式は必要ない。

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   表示された年利を期利率と期数に直す。 $r=0.066$、年あたりの複利計算回数 $n=12$ とすると

   $i=\frac{0.066}{12}=0.0055,\qquad N=nt=12\times 20=240$

   となる。$6.6\%$ は名目年利なので、指数の底に使う前に $12$ で分けなければならない。

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   増加倍率 $(1.0055)^{240}$ を丁寧に組み立てる。 対数を経由すれば計算を検算しやすい。

   $240\ln(1.0055)=240\times 0.0054849302=1.31638325$

   $e^{1.31638325}=3.7299068$

   つまり 240 か月でお金は $3.7299068$ 倍になる。よく見かける取り違えは、この倍率を $3.6521$ と書いてしまうことである。その値は端的に誤りであり、最終的な元金をおよそ \33$ 押し上げてしまう。

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   最終額を増加倍率で割る。 $A=P(1+i)^N$ を変形すると

   $P=\frac{A}{(1+i)^N}=\frac{5800}{3.7299068}=1554.9986$

   となる。セント単位に丸めると元金は \1{,}555.00$ である。

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   $1{,}555.00$ を再び将来へ進めて検算する。 掛け戻すと

   $1555.00\times 3.7299068=5800.00$

   となり与えられた総額が再現されるので、割り引く向きが正しかったことがわかる。対照的に、誤った倍率 $3.6521$ を使うと 5800/3.6521=\1{,}588.13$となり、これを正しい倍率で増やすと$1588.13\times 3.7299068=$5{,}923.58$になって$$5{,}800$ にならない——他人の助けを借りずに誤りを捕まえる方法がこれである。