あるローンの金利は年5パーセントで連続複利である。返済を一切しないとすると、3300ドルの借入に対して3年後にいくら返すことになるか。

Step-by-step solution

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   正しい公式を選び、その出どころも押さえる。 年 $n$ 回の複利なら $P\left(1+\tfrac{r}{n}\right)^{nt}$ であり、$n\to\infty$ とするとこれは連続複利の公式

   $A=Pe^{rt}.$

   に移る。つまり $e$ が現れるのは約束事ではなく、複利の回数を限りなく増やした極限だからである。

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   単位をそろえて入力値を確認する。 元本は $P=3300$、利率は年あたりの小数で $r=0.05$、時間は利率と同じ時間単位で $t=3$ 年である。パーセントと小数を混ぜたり、年利に対して月数を使ったりするのが、ここでのよくある誤りの原因である。

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   先に指数を作る。 指数計算の前に $rt$ を計算する：

   $rt=0.05\times 3=0.15,\qquad A=3300\,e^{0.15}.$

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   途中で丸めずに計算する。 $e^{0.15}=1.1618342427\ldots$ なので、

   $A=3300\times 1.1618342427=3834.053001\ldots$

   最後にだけ丸めると \3834.05$となる。（$e^{0.15}$を先に$1.16$と丸めていたら$$3828.00$ となり、6ドルもずれてしまう。）

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   通常の年複利と比べて妥当性を確かめる。 年1回だけ利息を付けるなら残高は 3300(1.05)^3=\3820.16$である。連続複利はそれより大きくなる。当然そうなるべきだが、差は約$$13.89$ にすぎない。中程度の金利では、複利の頻度より金利そのものの方がはるかに効くという良い目安になる。