120r = 10.1(1 − 1/(1 + r)^12) を r について解け。これは 120 の借入を 10.1 の支払い 12 回で返済するときの利率である。

Step-by-step solution

1. 1

   年金の現在価値の式であることに気づく。 両辺を $r$ で割ると標準形が現れる：

   $120=10.1\cdot\frac{1-(1+r)^{-12}}{r},$

   すなわち 元金 $=$ 支払額 $\times$ 年金現価係数（$n=12$）である。式の裏にある金融的な意味を掴んでおくと、純粋な代数だけでは得られない妥当性の検査が手に入る。

2. 2

   計算する前に答えの大きさを見積もる。 支払総額は $12\times10.1=121.20$、元金は $120$ なので、借り手が 12 期のあいだに払う利息はわずか $1.20$、元金のおよそ $1\%$ が全期間に分散している。したがって利率は1 期あたりで $1\%$ のごく一部でしかありえず、$1\%$ 近くにはならない。$0.9\%$ 前後の答えは見ただけで棄却できる：$r=0.00893$ では年金現価係数が与えるローンの価値は $114.45$ にしかならず、$120$ には届かない。

3. 3

   求根問題として定式化する。

   $f(r)=120r-10.1\left(1-(1+r)^{-12}\right).$

   と定める。$f(0)=0$ は自明な根である——利率ゼロなら両辺とも消える——ので、意味があるのはもう一方の符号変化である。実際に評価すると $f(0.001)=-0.000416$、$f(0.005)=+0.013244$ なので、根は $(0.001,0.005)$ の中にある。

4. 4

   二分法で収束させる。 その区間を繰り返し半分にしていくと

   $r=0.0015341499\ldots\approx0.0015341,$

   すなわち 1 期あたり $0.15341\%$ が得られる。$(-0.5,1)$ を走査しても他に符号変化は見つからないので、経済的に意味のある解はこれだけである。

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   年金現価係数を通して検算する。 $r=0.0015341499$ とすると

   $\frac{1-(1+r)^{-12}}{r}=11.8811881,\qquad 10.1\times11.8811881=120.000000 ✓,$

   であり、実際 $\frac{120}{10.1}=11.8811881$ ✓ となる。期が月なら名目年利は $12r\approx1.84\%$、実効年利は $(1+r)^{12}-1\approx1.857\%$ である。