ケビンは毎月一定額を年金口座に積み立て、年利 3.8%（月複利）で 16 年後に 75,000 ドルを作ろうとしている。彼が最終的に払い込む額と、利息の額を求めよ。

Step-by-step solution

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   1 期あたりの利率と期数を確認する。 月複利では年利が 12 等分される：

   $i = \frac{0.038}{12} = 0.0031666667, \qquad n = 16 \times 12 = 192$

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   将来価値の公式を書き、PMT について解き直す。 $FV = PMT \cdot \dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$ より

   $PMT = FV \cdot \frac{i}{(1+i)^n - 1}$

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   積立係数を十分な精度で計算する。

   $(1.0031666667)^{192} = 1.83499060$

   たとえば $1.835571$ のような値を使うと分母が大きくなり PMT \approx \284.24$、つまり$20$セントほど小さくなる。これが積み重なると払込総額で$$40$ ほどの誤差になる。

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   毎月の支払額を計算する。

   $PMT = 75000 \times \frac{0.0031666667}{0.83499060} = \$284.43$

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   払込額を合計して差を取る。

   $284.43 \times 192 = \$54{,}610.56, \qquad 75000 - 54610.56 = \$20{,}389.44$

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   **17 年・\85{,}000$の場合と比べる。** そちらでは毎月$$297.11$を$204$か月積み立てて利息は$$24{,}389.56$になる——比率としてはこちらより大きい。追加の 1 年ぶんの複利が、追加の元本よりも大きく効いているからである。利息が残高に占める割合は、ここでは約$27.2%$、あちらでは$28.7%$ である。