1/(2n² + n) を部分分数に分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分母を因数分解する。 どちらの項も $n$ を共通に持つ：

   $2n^2+n=n(2n+1)\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{2n^2+n}=\frac{1}{n(2n+1)}$

   異なる 1 次因数が 2 つということは、各因数に 1 項ずつ、べきの重なりはないということである。

2. 2

   型を置いて分母を払う。

   $\frac{1}{n(2n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{2n+1}\quad\Longrightarrow\quad 1=A(2n+1)+Bn$

3. 3

   $n$ のべきで整理して係数を比較する。

   $1=(2A+B)n+A$

   定数項から $A=1$ が得られる。$n$ の係数は消えねばならないので $2A+B=0$ であり、したがって

   $B=-2A=-2$

4. 4

   分解を書き下す。

   $\frac{1}{2n^2+n}=\frac{1}{n}-\frac{2}{2n+1},\qquad n\neq 0,\ n\neq-\tfrac12$

5. 5

   通分し直して、また数値でも確かめる。 $\tfrac{(2n+1)-2n}{n(2n+1)}=\tfrac{1}{n(2n+1)}$ $\checkmark$。$n=1$ のとき：左辺 $=\tfrac13$、右辺 $=1-\tfrac23=\tfrac13$ $\checkmark$。$n=2$ のとき：左辺 $=\tfrac{1}{10}$、右辺 $=\tfrac12-\tfrac25=\tfrac{1}{10}$ $\checkmark$。この分解は級数 $\sum\tfrac{1}{2n^2+n}$ の和を求めるときの定石の第一歩である。