空欄を埋めよ：99 = ? × ? × ?

Step-by-step solution

1. 1

   小さい素数から順に試す。 $99$ は奇数なので $2$ は除かれる。各位の和は $9+9=18$ で $9$ の倍数なので、$99$ は $3$ でも $9$ でも割り切れる。

   $99\div9=11$

   となり、2 つの因数への分解 $99=9\times11$ が得られる。各位の和による 3 の倍数の判定のおかげで、試し割りをせずに即座に分かる。

2. 2

   合成数の因数はさらに分解する。 $11$ は素数である（$2$、$3$、および $\sqrt{11}\approx3.3$ までのどの素数でも割り切れない）が、$9$ はそうではない。

   $9=3\times3$

3. 3

   3 つの因数の積に組み立てる。

   $99=3\times3\times11$

   確認：$3\times3=9$、$9\times11=99$ ✓。これが素因数分解であり、ふつうは $99=3^{2}\times11$ と書かれる。

4. 4

   これが実質的に唯一の答えであることを確かめる。 素因数分解の一意性により $99$ の素因数はちょうど $3,3,11$ なので、$1$ を使わない 3 つの数の積はこれらの並べ替えに限る。$99=1\times9\times11$ も形式的には 3 つの因数だが、$1$ で水増ししても意味は無い——意図された答えは $1$ より大きい 3 つの因数を使うものである。

5. 5

   約数をすべて並べて照合する。 $3^{2}\times11$ から約数は $1,3,9,11,33,99$ の 6 個であり、指数から予想される個数 $(2+1)(1+1)=6$ と一致する。どの約数も因数の組に現れる：$1\times99$、$3\times33$、$9\times11$ ✓。