ある 3 桁の数は十の位が 0 で、百の位の 2 倍が一の位より 2 大きい。2 つの桁を入れ替えると 198 大きい数になる。元の数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   数の形を式にする。 各位を $a$（百の位）、$b$（十の位）、$c$（一の位）とする。十の位は $0$ と与えられているので $b=0$ であり、この数は

   $N=100a+0+c=100a+c$

   である。

2. 2

   2 つ目の文を式にする。 百の位の 2 倍が一の位より $2$ 大きいので

   $2a=c+2$

3. 3

   どの入れ替えなら値が大きくなるかを調べる。 百の位と十の位を入れ替えると $a$ が十の位に移って数は小さくなり、十の位と一の位の入れ替えでも同様である。値を大きくできるのは百の位と一の位の交換だけで、その結果は $100c+a$ となる。

   $100c+a=(100a+c)+198$

   $99c-99a=198\ \Longrightarrow\ c-a=2$

4. 4

   2 元の連立を解く。 2 つの条件から $c=2a-2$ かつ $c=a+2$ である。等号で結ぶと

   $2a-2=a+2\ \Longrightarrow\ a=4$

   $c=a+2=6$

   となる。

5. 5

   組み立てて両方の条件を確認する。 数は $N=406$ である。百の位の 2 倍は $2\times 4=8$、一の位に $2$ を足すと $6+2=8$ $\checkmark$。入れ替えについては

   $604-406=198\quad\checkmark$

   どちらの条件も成り立つので、求める数は $406$ である。