ある 3 桁の数は、百の位の数字と一の位の数字が異なる。数字を逆順に並べた数をもとの数から引くと 396 になる。このような数のうち最大のものを求めよ。

Step-by-step solution

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   2つの数を位ごとに展開して書く。 数字を$a$、$b$、$c$（$a\ne 0$）とすると：

   $N=100a+10b+c,\qquad N'=100c+10b+a$

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   引き算して十の位が消えるのを見る。

   $N-N'=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)$

   真ん中の数字$b$が完全に打ち消される。これこそがこの問題の眼目である：それはまったく自由なのである。

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   数字の差を求める。

   $99(a-c)=396\ \Longrightarrow\ a-c=\frac{396}{99}=4$

   つまり百の位は一の位よりちょうど$4$だけ大きい。

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   左の桁から順に最大化する。 位の重みから百の位が最も効くので、$c=a-4$が数字として成り立つ範囲で$a$を最大に取る：$a=9$、したがって$c=5$。次に十の位を最大化する。問題が要求しているのは百の位と一の位が異なることだけで、真ん中については何も言っていないので、$b$は$9$でよい：

   $N=995$

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   検算し、なぜ 985 が答えでないかを見る。

   $995-599=396\quad\checkmark$

   よくある取り違えは3つの数字すべてが相異なると思い込むことで、そうすると$b=9$が排除されて小さい$985$になってしまう（これも条件は満たす：$985-589=396$）。しかし$995$のほうが大きく、述べられた条件をすべて満たすので、これが本当の最大値である。