A の各位の和が 12 で割り切れ、A + 6 の各位の和も 12 で割り切れ、600 < A < 900 を満たす 3 桁の数 A を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   この形の問題を支配する唯一の事実を押さえる。 ある数に $k$ を足すと、各位の和は（繰り上がりがなければ）$k$ だけ増えるか、繰り上がり 1 回につき $9$ の倍数だけ減る。具体的には、一の位の繰り上がり 1 回で各位の和は $k-9$ だけ変わる。

2. 2

   繰り上がりなしの場合を排除する。 $12\mid S$ で繰り上がりが起きなければ、新しい和は $S+6$ で、これは $12$ で割ると余りが $6$ になり決して $0$ にならない。したがって $6$ を足すと必ず 1 回以上の繰り上がりが起こる。つまり一の位 $b$ は $b\ge 4$ を満たす。

3. 3

   繰り上がりが 1 回のときにどうなるかを調べる。 ちょうど 1 回の繰り上がりでは各位の和が $6-9=-3$ だけ変わり、$S-3$ になる。$12\mid S$ と $12\mid(S-3)$ が同時に成り立つことはあり得ないので、繰り上がりは2 回必要である。つまり十の位も繰り上がらなければならず、十の位は $9$ でなければならない。2 回の繰り上がりでは和が $6-9-9=-12$ だけ変わり、$S$ が 12 の倍数でありさえすれば $S-12$ も $12$ の倍数である。

4. 4

   各位に条件を課す。 $A=\overline{hab}$ とし、$h\in\{6,7,8\}$、$a=9$、$b\ge 4$ とする。$h+9+b\equiv 0\pmod{12}$ が必要なので $h+b\equiv 3\pmod{12}$、すなわち $h+b=15$ となる（$h\le 8$、$b\le 9$ で到達できる値はこれだけである）。

   $(h,b)=(6,9),\ (7,8),\ (8,7).$

5. 5

   列挙して検証する。

   $699\to 6+9+9=24,\quad 705\to 7+0+5=12\ \checkmark$
   $798\to 24,\quad 804\to 12\ \checkmark$
   $897\to 24,\quad 903\to 12\ \checkmark$

   $601$ から $899$ までを総当たりで調べるとちょうどこの 3 つが返るので、どれを答えても正解である。