A の各位の和が 6 で割り切れ、A + 3 の各位の和も 6 で割り切れ、350 < A < 400 を満たす 3 桁の数 A を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   数の形を確定する。 $350<A<400$ より百の位は $3$ なので $A=\overline{3ab}$、$a\in\{5,6,7,8,9\}$、各位の和は $S=3+a+b$ である。

2. 2

   3 を足すと各位の和がどう変わるかを調べる。 場合は 2 つだけである。

   • 繰り上がりなし（$b\le 6$）：一の位が $3$ 増えるので $S\to S+3$。
   • 繰り上がりあり（$b\ge 7$）：一の位が $7$ 減り十の位が $1$ 増えるので $S\to S+3-10+1=S-6$。
3. 3

   繰り上がりなしの場合を排除する。 $6\mid S$ なら $S+3$ は $6$ で割った余りが $3$ になり、決して $0$ にならない。したがって繰り上がりは必須で

   $b\in\{7,8,9\}.$

   となる。繰り上がりのある場合は $S\to S-6$ であり、$S$ が 6 の倍数でありさえすれば自動的に $6$ の倍数になる——2 つ目の条件はただで満たされる。

4. 4

   各位の和の条件を課す。 $a\in\{5,\ldots,9\}$、$b\in\{7,8,9\}$ のもとで $3+a+b\equiv 0\pmod 6$ を要求する。条件を満たす組は $(a,b)=(6,9),(7,8),(8,7)$ で、いずれも $S=18$ になる。

5. 5

   答えを列挙して検証する。

   $369\to 3+6+9=18,\quad 372\to 3+7+2=12\ \checkmark$
   $378\to 18,\quad 381\to 12\ \checkmark$
   $387\to 18,\quad 390\to 12\ \checkmark$

   $351$ から $399$ までのすべての整数を調べても、他にはないことが確認できる。