A の各位の和が 4 で割り切れ、A + 2 の各位の和も 4 で割り切れ、200 < A < 400 を満たす 3 桁の数 A を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   一般形を立てる。 $200<A<400$ なので百の位 $h$ は $2$ か $3$ である。$A=\overline{hab}$ と書けば各位の和は $S=h+a+b$ である。

2. 2

   2 を足したときの各位の和への影響を調べる。

   • 繰り上がりなし（$b\le 7$）：$S\to S+2$。
   • 一の位の繰り上がり（$b\in\{8,9\}$、$a\le 8$）：一の位が $8$ 減り十の位が $1$ 増えるので $S\to S-7$。
   • 二重の繰り上がり（$b\in\{8,9\}$ かつ $a=9$）：十の位も繰り上がるので $S\to S-16$。
3. 3

   繰り上がりなしの場合を排除する。 $4\mid S$ なら $S+2$ は余りが $2$ になり決して $0$ にならない。したがって $b\in\{8,9\}$ が確定する。1 回だけの繰り上がりでは $S\to S-7$ で、$S-7$ が $4$ の倍数になるのは $S\equiv 3\pmod 4$ のときだけであり、$4\mid S$ と矛盾する。したがって残るのは二重の繰り上がりだけで、$a=9$ も必要になる。このとき $S\to S-16$ となり、自動的に $4$ の倍数のままである。

4. 4

   a = 9 のもとで各位の和の条件を課す。 $b\in\{8,9\}$ で $h+9+b\equiv 0\pmod 4$ が必要である。

   • $h=2$：$11+b\equiv 0$ より $b=9$、$S=20$
   • $h=3$：$12+b\equiv 0$ より $b=8$、$S=20$
5. 5

   列挙して検証する。

   $299\to 2+9+9=20,\quad 301\to 3+0+1=4\ \checkmark$
   $398\to 3+9+8=20,\quad 400\to 4+0+0=4\ \checkmark$

   $201$ から $399$ までを総当たりで調べるとちょうどこの 2 つが返るので、どちらを答えても正解である。