A の各位の和が 5 で割り切れ、A + 4 の各位の和も 5 で割り切れ、350 < A < 400 を満たす 3 桁の数 A を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   範囲から百の位を確定する。 $350<A<400$ を満たす $A$ はすべて $3$ で始まるので、$A=\overline{3ab}$ と書ける。十の位は $a\in\{5,6,7,8,9\}$、一の位は $b\in\{0,\ldots,9\}$ である。各位の和は $S=3+a+b$ となる。

2. 2

   4 を足すと各位の和がどう変わるかを掴む。 場合は 2 つしかない。

   • $b\le 5$ なら繰り上がりは起こらず、各位の和は $4$ 増える。$S\to S+4$。
   • $b\ge 6$ なら一の位が繰り上がって十の位が $1$ 増えるので、各位の和は $4-10+1=-5$ だけ変わる。$S\to S-5$。

   ここが核心である。$5\mid S$ のとき $S+4$ が 5 の倍数になることは決してないが、$S-5$ は必ず $5$ の倍数になる。

3. 3

   繰り上がりが不可欠だと結論する。 1 つ目の場合はあり得ないので $b\ge 6$ が必要である。さらに十の位まで繰り上がらないようにするため $a\le 8$ でなければならない（十の位が $9$ だと百の位へ繰り上がり、計算がまた変わってしまう）。

4. 4

   各位の和の条件を課す。 $b\in\{6,7,8,9\}$、$a\in\{5,6,7,8\}$ のもとで

   $3+a+b\equiv 0\pmod 5.$

   を要求する。条件を満たす組は $(a,b)=(5,7)$（$S=15$）、$(6,6)$（$S=15$）、$(8,9)$（$S=20$）である。

5. 5

   解を列挙して検算する。

   $A=357:\ 3+5+7=15,\quad 361\to 3+6+1=10\ \checkmark$
   $A=366:\ 3+6+6=15,\quad 370\to 3+7+0=10\ \checkmark$
   $A=389:\ 3+8+9=20,\quad 393\to 3+9+3=15\ \checkmark$

   $351$ から $399$ までのすべての整数を総当たりで調べても、この 3 つだけであることが確認できる。どれを答えてもよい。