各位の数の和が 7 で、十の位の数から一の位の数を引いた差がその数自身の 43 分の 1 になる 2 桁の数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   各位の数に名前を付け、位取りの形で数を表す。 十の位の数を $a$、一の位の数を $b$ とし、$1\le a\le 9$、$0\le b\le 9$ とする。数そのものは

   $N=10a+b,$

   であって $ab$ ではない——この展開こそが、数字のパズルを普通の代数に変える。

2. 2

   2 つの文をそれぞれ式にする。 各位の和から $a+b=7$ が得られる。「差 $a-b$ は $N$ より $43$ 倍小さい」とは、$N$ がその差の $43$ 倍だということである。

   $10a+b=43(a-b).$

3. 3

   第 2 の式を整理する。

   $10a+b=43a-43b\ \Longrightarrow\ 44b=33a\ \Longrightarrow\ 4b=3a.$

   共通因数 $11$ で割ることで関係が読み取りやすくなる。各位の数の比は $a:b=4:3$ である。

4. 4

   各位の和の条件と組み合わせる。 $4b=3a$ より $a=\tfrac{4b}{3}$ なので、$a+b=7$ に代入すると

   $\frac{4b}{3}+b=7\ \Longrightarrow\ \frac{7b}{3}=7\ \Longrightarrow\ b=3,\qquad a=4.$

5. 5

   数を組み立てて検証する。 数は $N=10(4)+3=43$ である。2 つの条件を確かめる。各位の和は $4+3=7$、各位の差は $4-3=1$ で $43\div 1=43$ なので、差はたしかに $43$ 倍小さい。2 桁の数を総当たりで調べても、$43$ が唯一の解であることが確かめられる。