0.000061 + 0.000061(1.25) + 0.000061(1.25)^2 + ... + 0.000061(1.25)^9 の和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   構造を見抜く。 どの項も 1 つ前の項に $1.25$ を掛けたものなので、これは等比数列の和である。値を読み取ると初項 $a=0.000061$、公比 $r=1.25$、そして指数が $0$ から $9$ まで並ぶことから項数はちょうど $n=10$ である。$n$ を $9$ と数え違えるのがよくある落とし穴である。

2. 2

   共通の初項をくくり出す。

   $0.000061\left(1+1.25+1.25^{2}+\cdots+1.25^{9}\right)$

   こうすれば初項 $1$ のすっきりした級数になり、公式を当てはめる相手はかっこの中だけになる。

3. 3

   有限等比級数の和の公式を適用する。 $r\neq1$ のとき

   $S_{n}=\frac{r^{n}-1}{r-1}=\frac{1.25^{10}-1}{1.25-1}=\frac{1.25^{10}-1}{0.25}=4\left(1.25^{10}-1\right)$

   となる。$0.25$ で割ることは $4$ を掛けることと同じであり、計算を厳密に保てる有用な簡略化である。

4. 4

   累乗を計算する。 $1.25=\tfrac54$ なので

   $1.25^{10}=\frac{5^{10}}{4^{10}}=\frac{9\,765\,625}{1\,048\,576}=9.313225746\ldots$

   となり、かっこの中は $4(9.313225746-1)=4(8.313225746)=33.252902984$ である。

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   初項を掛ける——ここは慎重に。

   $0.000061\times33.252902984=0.0020284271$

   全体を厳密な分数で計算すると $\dfrac{531\,739\,989}{262\,144\,000\,000}=0.00202842708\ldots$ ✓ となり、小数の値が裏づけられる。答えは $0.0020284$ であって $0.0020289$ ではない点に注意したい。ここでは有効数字 4 桁目のずれが起こりやすく、結果が約 $0.025\%$ 変わってしまう。

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   大きさで妥当性を確かめる。 平均するとおよそ $0.0002$ の項が 10 個なので、合計は $0.002$ 前後になるはずである ✓。増え方も合っている。末項は $0.000061\times1.25^{9}\approx0.000455$ で初項の約 $7.5$ 倍——公比が $1$ より大きく 9 回複利で効いていることと整合する。