400 の平方根はいくらで、それはなぜか。電卓を使わずに求める方法を説明せよ。

Step-by-step solution

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   定義から出発する。 数 $N$ の平方根とは、それ自身を掛けると $N$ になる値のことである。したがって $\sqrt{400}$ を求めることは

   $k\times k=400.$

   を解くことにほかならない。問いの中身はこれがすべてで、以下はその $k$ を効率よく見つける手順にすぎない。

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   400 を素因数に分けて対にする。 割り算を繰り返すと

   $400=4\times 100=2^{2}\times(2^{2}\times 5^{2})=2^{4}\times 5^{2}.$

   となる。指数がすべて偶数であることが、$400$ が平方数であることの条件そのものである。各指数を半分にすると

   $\sqrt{400}=2^{4/2}\times 5^{2/2}=2^{2}\times 5=20.$

   となる。この方法はどんな平方数にも使え、当て推量を必要としない。

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   掛け戻して確かめる。 候補を 2 乗すると

   $20\times 20=400 ✓.$

   となる。もう 1 つ使える確認は末尾の 0 の個数を見る方法である。$400$ の末尾には 0 が 2 個あるので平方根の末尾には 1 個、そして $\sqrt{4}=2$ が先頭の数字を与える——よって $20$ である。

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   符号の約束を押さえる。 $20$ も $-20$ も 2 乗すれば $400$ になるが、根号の記号 $\sqrt{\ }$ は正の（非負の）平方根を表すので $\sqrt{400}=20$ である。$x=\pm20$ という 2 つの符号を伴う答えは方程式 $x^{2}=400$ のものであって、式 $\sqrt{400}$ のものではない——きちんと区別しておく価値のある違いである。

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   挟み込みで妥当性を確かめる。 $19^{2}=361$、$21^{2}=441$ なので平方根は $19$ と $21$ の間になければならず、そこにある整数は $20$ しかない ✓。このような挟み込みこそ、$\sqrt{410}\approx 20.25$ のように平方数でない数の平方根を見積もるやり方である。