2706.225166081663 の平方根を求めよ。

Step-by-step solution

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   近くの平方数で答えを挟む。 $52^2 = 2704$、$53^2 = 2809$ である。$2704 < 2706.225 < 2809$ なので平方根は $52$ と $53$ の間にあり、しかも $52$ にずっと近い。$105$ 幅の隙間のうち、目標は $2704$ よりわずか $2.225$ 上にあるだけだからである。

2. 2

   一次近似の見積もりを得る。 $x_0 = 52$ の近くで 2 乗の関数の傾きは $2x_0 = 104$ なので、2 乗の値が $2.225166$ だけ増えることは、平方根では

   $\frac{2.225166}{104} \approx 0.021396$

   だけ増えることに対応する。したがって見積もりは $52.021396$ である。これはちょうどニュートン法の 1 ステップにあたる。

3. 3

   ニュートン法をもう 1 回回して精度を上げる。 反復式は $N = 2706.225166081663$ として $x_{n+1} = \tfrac{1}{2}\left(x_n + \tfrac{N}{x_n}\right)$ である。$x_1 = 52.021396$ から

   $\frac{N}{x_1} = 52.021387, \qquad x_2 = \frac{52.021396 + 52.021387}{2} = 52.0213915$

   となる。ニュートン法は 1 ステップごとに正しい桁数がおよそ 2 倍になるので、もう 1 回通しただけで小数第 6 位まで安定するのである。

4. 4

   結果を述べる。

   $\sqrt{2706.225166081663} \approx 52.021391$

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   2 乗して検算する。 $52.021391^2 = 2706.225122$ で、目標より $4.45 \times 10^{-5}$ 小さい。これは平方根を $10^{-6}$ の位で切り捨てたことと整合する。導関数 $2x \approx 104$ がその誤差をおよそ 100 倍に拡大するからである。桁をさらに増やすと $52.0213914278^2 = 2706.2251660844$ となり、与えられた数と有効数字 11 桁まで一致する。